• Модель Математического Маятника Онлайн
• Модель Математического Маятника Simulink
• Вводя Модель Математического Маятника Мы Пренебрегаем

Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела. В положении равновесия, когда маятник висит по отвесу, сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити При отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол φ появляется касательная составляющая силы тяжести Fτ = –mg sin φ (рис. 2.3.1). Знак «минус» в этой формуле означает, что касательная составляющая направлена в сторону, противоположную отклонению маятника. 1 Рисунок 2.3.1. Математический маятник. Φ – угловое отклонение маятника от положения равновесия, x = lφ – смещение маятника по дуге.

Математический маятник. Φ – угловое отклонение маятника от положения равновесия.

Если обозначить через x линейное смещение маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса l, то его угловое смещение будет равно φ = x / l. Второй закон Ньютона, записанный для проекций векторов ускорения и силы на направление касательной, дает: Это соотношение показывает, что математический маятник представляет собой сложную нелинейную систему, так как сила, стремящаяся вернуть маятник в положение равновесия, пропорциональна не смещению x, а Только в случае малых колебаний, когда приближенно можно заменить на математический маятник является гармоническим осциллятором, то есть системой, способной совершать гармонические колебания. Практически такое приближение справедливо для углов порядка 15–20°; при этом величина отличается от не более чем на 2%.

Колебания маятника при больших амплитудах не являются гармоническими. Для малых колебаний математического маятника второй закон Ньютона записывается в виде Таким образом, тангенциальное ускорение aτ маятника пропорционально его смещению x, взятому с обратным знаком. Это как раз то условие, при котором система является гармоническим осциллятором. По общему правилу для всех систем, способных совершать свободные гармонические колебания, модуль коэффициента пропорциональности между ускорением и смещением из положения равновесия равен квадрату круговой частоты: Эта формула выражает собственную частоту малых колебаний математического маятника.

1. Математический маятник - частный случай физического маятника. Математическим маятником называют физический маятник, вся масса которого сосредоточена в одной точке, центре масс маятника. Чаще всего математический маятник рассматривают как шарик, который подвешен на длинной невесомой и нерастяжимой нити.. Осциллятор служит моделью во многих задачах классической или квантовой механики. Примеры задач с математическим маятником.
2. Модель «Математический маятник». Модель (рис.14) демонстрирует свободные колебания математического маятника. Можно изменять длину нити l, угол начального отклонения маятника, коэффициент вязкого трения b. Выводятся графики зависимости угловой координаты и скорости от времени, диаграммы потенциальной и кинетической энергий при свободных колебаниях, а также при затухающих колебаниях при наличии вязкого трения.
3. Получили модель физического маятника – математический маятник. В качестве независимой координаты используем угол отклонения вертикальной оси проходящей через точку подвеса (Рис.3). Величины и постоянны. Для количественного описания физической модели системы воспользуемся законом Ньютона для вращательного движения., (В.6). Где Ј – момент инерции, который по определению равен, а – момент сил, равный.

Следовательно, Любое тело, насаженное на горизонтальную ось вращения, способно совершать в поле тяготения свободные колебания и, следовательно, также является маятником. Такой маятник принято называть физическим (рис. 2.3.2).

Он отличается от математического только распределением масс. В положении устойчивого равновесия центр масс C физического маятника находится ниже оси вращения O на вертикали, проходящей через ось. При отклонении маятника на угол φ возникает момент силы тяжести, стремящийся возвратить маятник в положение равновесия: M = –(mg sin φ)d. Здесь d – расстояние между осью вращения и центром масс C. 2 Рисунок 2.3.2. Физический маятник. Знак «минус» в этой формуле, как обычно, означает, что момент сил стремится повернуть маятник в направлении, противоположном его отклонению из положения равновесия.

Как и в случае математического маятника, возвращающий момент M пропорционален sin φ. Это означает, что только при малых углах φ, когда sin φ ≈ φ, физический маятник способен совершать свободные гармонические колебания. В случае малых колебаний M = –mgdφ. И второй закон Ньютона для физического маятника принимает вид (см. §1.23) Iε = M = –mgdφ. Где ε – угловое ускорение маятника, I – момент инерции маятника относительно оси вращения O. Модуль коэффициента пропорциональности между ускорением и смещением равен квадрату круговой частоты: Здесь ω0 – собственная частота малых колебаний физического маятника. Следовательно, Более строгий вывод формул для ω0 и T можно сделать, если принять во внимание математическую связь между угловым ускорением и угловым смещением: угловое ускорение ε есть вторая производная углового смещения φ по времени: Поэтому уравнение, выражающее второй закон Ньютона для физического маятника, можно записать в виде Это уравнение свободных гармонических колебаний (см. уравнение (.) §2.2).

Коэффициент в этом уравнении имеет смысл квадрата круговой частоты свободных гармонических колебаний физического маятника. По теореме о параллельном переносе оси вращения (теорема Штейнера, §1.23) момент инерции I можно выразить через момент инерции IC относительно оси, проходящей через центр масс C маятника и параллельной оси вращения: I = IC + md2.

Окончательно для круговой частоты ω0 свободных колебаний физического маятника получается выражение.

Первенствующее значение в процессе построения обыкновенных дифференциальных моделей имеет знание законов той области науки, с которой связана природа изучаемой задачи. Так, например, в механике это могут быть законы Ньютона, в теории электрических цепей — законы Кирхгофа, в теории скоростей химических реакций — закон действия масс и т. д. Конечно, на практике приходится иметь дело и с такими случаями, когда неизвестны законы, позволяющие составить дифференциальное уравнение, и поэтому необходимо прибегать к различным предположениям, касающимся протекания процесса при малых изменениях параметров — переменных. К дифференциальному уравнению тогда приводит предельный переход. В случае, если окажется, что результаты исследования полученного дифференциального уравнения как математической модели согласуются с данными, полученными опытным путем, то это и будет означать, что высказанная гипотеза правильно отражает истинное положение вещей. Мы на примере закона движения математического маятника покажем возможность использования обыкновенных дифференциальных уравнений в процессе познания окружающей нас действительности. Найдем закон движения и определить период Т математического маятника длины l при малых отклонениях.

При условии, что t=0, S=a, =0, где S(t) — величина дуги, на которую отклонился маятник в момент t. На маятник действует сила упругости нити F и сила тяжести Р. Когда он находиться в равновесии, то Р + F=0. Результирующая сила F 1, направленная по касательной к траектории в сторону положения равновесия возникает, когда маятник отклонен.

Модель Математического Маятника Онлайн

Из рисунка 1 видно, что │ F 1│= p sinα. Кроме того, по второму закону Ньютона, который гласит, что производная по времени от количества движения материальной точки равна действующей на неё силе. Модель математического маятника Дифференциальное уравнение получается в проекции на горизонтальную ось. Минус в правой части получается за счет того, что частная производная второго порядка от величины дуги по времени отрицательна). Произведя несложные преобразования, получим, g.

Модель Математического Маятника Simulink

Кроме того, при малых α, sin α ≈ α ≈ S/ l. Поэтому уравнение примет вид — линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

Вводя Модель Математического Маятника Мы Пренебрегаем

Оно имеет вид: Составим характеристическое уравнение λ² — k = 0 → λ = ±і (k.